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Escuela Técnica Superior de Informática

Universidad Autónoma de Madrid

Álgebra II

Este curso esta dedicado al Algebra lineal y las formas cuadraticas. La parte del curso dedicada al Algebra lineal tiene por objetivo entender las aplicaciones lineales, el calculo matricial y su relacion con los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la aplicacion a su resolucion; por ultimo se estudian los autovalores y autovectores de matrices y sus aplicaciones. En el estudio de formas cuadraticas, tras introducir los espacios euclideos, se estudia la diagonalizacion de matrices simetricas y los distintos tipos de formas cuadraticas.

1. Aplicaciones lineales
   

Definición, núcleo, imagen, rango, ejemplos.
Inyectividad, suprayectividad, teorema de la dimensión.
Matrices, suma, producto y composición de aplicaciones lineales.
Formas lineales, aplicación dual.





2. Determinantes
   

Determinantes en orden 2: definición y propiedades.
Determinantes en orden 3: definición y propiedades.
Determinantes en orden general: definición y propiedades.
Regla de Cramer y matriz inversa.





3. Sistemas de ecuaciones lineales
   

Sistemas lineales y aplicaciones lineales.
Existencia de soluciones.
Método Gauss-Jordan: resolución de ecuaciones e inversión de matrices.





4. Autovalores y autovectores
   

Definición, polinomio característico.
Diagonalizabilidad, triangularizabilidad.
Aplicaciones y ejemplos.
Polinomio mínimo, teorema de Caley-Hamilton.
Forma canónica de Jordan.





5. Espacios euclídeos y formas cuadráticas
   

Formas bilineales, producto escalar, norma, distancia.
El proceso de Gram-Schmidt.
Subespacios ortogonales, proyecciones ortogonales.
Aplicaciones adjuntas y autoadjuntas, diagonalización de matrices simétricas.
Formas cuadráticas, forma canónica y forma normal.